Teorema de Laplace

No campo da álgebra linear, o teorema de Laplace, assim denominado em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático utilizado para simplificar o cálculo de determinantes em matriz quadrada, proporcionando a possibilidade de decompô-lo em números menores. Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada; de modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antepondo a matriz o símbolo “det”.

Para aplicar o teorema de Laplace é necessário escolher uma fila (linha ou coluna da matriz), adicionando desse modo os produtos dos elementos desta fila ao co-fatores correspondentes. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido pela igualdade da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos co-fatores.

Calcule:

Procedimentos :

I. Escolhe-se uma fila qualquer do determinante:



II. Multiplica-se cada elemento da fila selecionada, com o sinal do co-fator, pelo seu menor complementar.

det A = a¹¹A¹¹ + a¹²A¹² + a¹³A¹³

Regra de Chió

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem n > 3 é necessário abaixar a ordem. Uma das maneiras é usar o Teorema de Laplace. Existe, além disso, uma regra prática dada por Chió que consiste em:

1.º Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1).

2.º Suprimir a linha (i) e a coluna (j) do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do referido elemento.

3.º Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.

4.º Multiplicar o determinante obtido no 3.º item por (-1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1.

Exemplo: